最值問(wèn)題是近幾年中考中的熱點(diǎn)題型之一，它不但考察了學(xué)生對(duì)基本事實(shí)及函數(shù)性質(zhì)的掌握情況，同時(shí)也發(fā)散了學(xué)生思維，提升了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.考察題型一般分為兩類(lèi)：一類(lèi)為幾何最值；一類(lèi)為函數(shù)最值.
下面我們先來(lái)分析總結(jié)幾何最值問(wèn)題（函數(shù)最值之后繼續(xù)），幾何最值問(wèn)題是根據(jù)題中條件求出一些幾何量的最大值或最小值，如線(xiàn)段長(zhǎng)度、圖形的周長(zhǎng)、圖形的面積等的最值.
初中階段我們學(xué)過(guò)兩個(gè)非常重要的基本事實(shí)：一個(gè)是兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短；一個(gè)是點(diǎn)到直線(xiàn)的所有連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短.這兩個(gè)基本事實(shí)為我們解決幾何最值問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)和研究方向.我們初中教材中也逐步滲透了一些典型的幾何最值模型.
下面我分類(lèi)總結(jié)得出以下幾點(diǎn)：一、點(diǎn)點(diǎn)線(xiàn)最短；二、點(diǎn)線(xiàn)點(diǎn)最短；三、點(diǎn)線(xiàn)線(xiàn)點(diǎn)最短；四、造橋選址最短；五、面積最?。煌瑫r(shí)列舉一些2016中考中各省市出現(xiàn)的幾何最值習(xí)題供大家一起探究，希望對(duì)同學(xué)們有些幫助.今天我們這期先探討前三個(gè)問(wèn)題：
一、點(diǎn)-點(diǎn)-線(xiàn)
點(diǎn)點(diǎn)線(xiàn)在這里指的是上面提到的兩個(gè)基本事實(shí)的直接應(yīng)用，考察點(diǎn)點(diǎn)之間，點(diǎn)線(xiàn)之間的最短距離，出題時(shí)常與三角形的三邊關(guān)系結(jié)合.（如2016.安徽.10題、2016.河北.25題思考）
二、點(diǎn)-線(xiàn)-點(diǎn)
也稱(chēng)“兩定一動(dòng)”，即如圖，平面上有直線(xiàn)l 外的兩個(gè)定點(diǎn)A、B，請(qǐng)?jiān)谥本€(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短.此類(lèi)題目的做題方法一般是作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，再連接BA'與直線(xiàn)l交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.所以解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出題目中的定直線(xiàn)l及確定定點(diǎn)A、B.（如2016.天津.24題（Ⅲ））
三、點(diǎn)-線(xiàn)-線(xiàn)-點(diǎn)
也稱(chēng)為“兩動(dòng)一定”，即如圖，平面上有直線(xiàn)a,b，在兩直線(xiàn)外有一點(diǎn)A，請(qǐng)從直線(xiàn)a、b上分別找出兩點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足AP+PQ+QA最短.
此類(lèi)題目的一般做法是：過(guò)點(diǎn)A分別作兩條直線(xiàn)的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'、A''，連接A'、A''，分別交兩直線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，即為所求.注意這類(lèi)問(wèn)題往往以求三角形的周長(zhǎng)最小值或四邊形的周長(zhǎng)最小值為題目出現(xiàn).（如練習(xí)中問(wèn)題4和2016.陜西.25題⑵ ）
注：二、三兩個(gè)類(lèi)型的主要區(qū)別在于線(xiàn)的條數(shù).
下面我們通過(guò)今年的中考題來(lái)大顯身手吧！
練習(xí)：
1.（2016.安徽.10）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6,BC=4.P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠PAB=∠PBC.則線(xiàn)段CP長(zhǎng)的最小值為（ ）
（答案：B 參考方法：由題可知點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，則OC-OP最短為2）
2.（2016.河北.25思考）如圖，半圓O的直徑AB=4，以長(zhǎng)為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中點(diǎn)P在弧AQ上但不與點(diǎn)A重合，但點(diǎn)Q可與點(diǎn)B重合.
發(fā)現(xiàn) 弧AP的長(zhǎng)與弧QB的長(zhǎng)之和為定值l，求l；
思考 點(diǎn)M與AB的最大距離為 ，此時(shí)點(diǎn)P，A間的距離為 ；點(diǎn)M與AB的最小距離為 ，此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形的面積為 .
參考方法：過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線(xiàn)，垂足為N，則MN=OMsin∠AOM，根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)∠AOM=90°時(shí)，即AB∥PQ時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離最大，則PA距離易求；同理可得：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)M到AB的距離最小.）
3.（2016.天津.24題（Ⅲ））在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（Ⅰ）如圖①，若α=90°，求AA′的長(zhǎng)；
（Ⅱ）如圖②，若α=120°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上 的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）
4.如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M，N分別在邊OA和OB上，且OM=1，ON=3，點(diǎn)P，Q分別在OB，OA上，則MP+PQ+QN的最小值是
（答案：√10，參考方法：分別作點(diǎn)N和點(diǎn)M關(guān)于邊OA和OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N'、M'，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與兩邊的交點(diǎn)即為QP兩點(diǎn)，易得∠N'OM'=90°，由勾股定理的最小值為√10）
5.（2016.陜西.25）
問(wèn)題提出
（1）如圖①，已知△ABC，請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)的三角形．
問(wèn)題探究
（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形EFGH的周長(zhǎng)最??？若存在，求出它周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（答案：（1）略 （2）.2√5+10
參考方法：如圖所示，是點(diǎn)線(xiàn)線(xiàn)點(diǎn)的中兩點(diǎn)分開(kāi)類(lèi)型.）
